Để phân tích đa thức \( x^3 + 27x + (x+3)(x-9) \) thành nhân tử, đầu tiên ta cần đơn giản hóa biểu thức.

### Bước 1: Tính toán \( (x+3)(x-9) \)

Ta có:
\[
(x+3)(x-9) = x^2 - 9x + 3x - 27 = x^2 - 6x - 27
\]

### Bước 2: Thay vào đa thức ban đầu

Gọi \( P(x) \) là đa thức cần phân tích:
\[
P(x) = x^3 + 27x + (x^2 - 6x - 27)
\]

### Bước 3: Cộng các hạng tử lại

Ta có:
\[
P(x) = x^3 + 27x + x^2 - 6x - 27
\]
\[
= x^3 + x^2 + (27x - 6x) - 27
\]
\[
= x^3 + x^2 + 21x - 27
\]

### Bước 4: Phân tích đa thức \( x^3 + x^2 + 21x - 27 \)

Để phân tích đa thức, ta có thể thử nghiệm các giá trị của \( x \) xem có phải là nghiệm hay không.

Giả sử \( x = 3 \):
\[
P(3) = 3^3 + 3^2 + 21 \cdot 3 - 27 = 27 + 9 + 63 - 27 = 72 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Giả sử \( x = -3 \):
\[
P(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 + 21 \cdot (-3) - 27 = -27 + 9 - 63 - 27 = -108 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Giả sử \( x = 1 \):
\[
P(1) = 1^3 + 1^2 + 21 \cdot 1 - 27 = 1 + 1 + 21 - 27 = -4 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Giả sử \( x = -1 \):
\[
P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + 21 \cdot (-1) - 27 = -1 + 1 - 21 - 27 = -48 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Sau khi kiểm tra các nghiệm, có thể thấy rằng việc tìm nghiệm cụ thể không đơn giản. Vì vậy, ta có thể áp dụng phương pháp một số phương pháp khác như chia đa thức hoặc sử dụng định lý phân tích.

### Bước 5: Kiểm tra và rút gọn Đa thức

Ta thử dùng thuật toán phân tích để tìm nghiệm:

Ghi nhận lại phép kiểm tra nghiệm:
- Nếu không tìm thấy nghiệm, ta có thể xem rằng \( P(x) \) thuộc dạng bậc ba, có 1 nghiệm thực và hai nghiệm phức hoặc 3 nghiệm thực.

Cách tiếp cận khác là thử phương trình bậc hai hoặc sử dụng hệ số Gupta hoặc Horner.

### Kết luận

Việc phân tích đòi hỏi thử nghiệm và kiểm tra nghiệm thực tế. Nếu không tìm thấy nghiệm cụ thể, bạn có thể sử dụng phần mềm giải phương trình bậc ba hoặc tham khảo thêm các phương pháp giải khác như định lý Vieta hay các phép nhân đa thức khác.

Nếu bạn cần làm rõ một câu nào cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!