Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một:

### 1) Chứng minh EK là đường trung bình của tam giác ABC.

- Theo định nghĩa, đường trung bình của một tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh và nó song song với cạnh còn lại, đồng thời bằng nửa độ dài của cạnh đó.
- Trong tam giác ABC, E là trung điểm của AB, K là trung điểm của AC. Do đó, EK nối hai trung điểm này.
- Ta cần chứng minh rằng EK song song với BC và \( EK = \frac{1}{2} BC \).

Theo định lý đường trung bình trong tam giác, chúng ta có:

\[ EK \parallel BC \text{ và } EK = \frac{1}{2} BC. \]

### 2) Đường thẳng EK cắt AH tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH.

- Khi EK cắt AH tại điểm I, chúng ta cần sử dụng tính chất của đường thẳng EK.
- Bởi vì EK là đường trung bình, và AH là đường cao, điểm I sẽ chia AH thành hai đoạn có độ dài bằng nhau.
- Do đó, \( AI = IH \).

### 3) Biết \( BC = 10 \, \text{cm} \). Tính EK.

- Theo định lý đường trung bình, ta đã chứng minh rằng \( EK = \frac{1}{2} BC \).
- Với \( BC = 10 \, \text{cm} \), ta có:

\[
EK = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \, \text{cm}.
\]

### Kết luận:
- EK là 5 cm.