Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang. Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao? Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang. b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao? c) gọi O là trung điểm MP. chứng minh B, O, N thẳng hàng d) kẻ MC cắt BN tại G, đường thằng d qua P song song với BN, d cắt MC tại J. Chứng minh CJ = 1/3 CM giúp mình với gấp gấp ạ!!!!!!!
0 trả lời
5 Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét các phần theo từng yêu cầu một: **a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.** Để chứng minh tứ giác \( BMNC \) là hình thang, chúng ta cần chứng minh hai cạnh đối diện của nó song song. Giả sử ta có tam giác \( ABC \). - \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( N \) là trung điểm của \( AC \), và \( P \) là trung điểm của \( BC \). Theo định nghĩa, ta có: - \( MB = \frac{1}{2}AB \) và \( MC = \frac{1}{2}AC \) (do \( M \) là trung điểm) - \( NB = \frac{1}{2}AC \) và \( NC = \frac{1}{2}AB \) (do \( N \) là trung điểm) Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, nên theo định lý trung điểm, hai cạnh \( MN \) và \( BC \) sẽ song song với nhau, tức: \[ MN \parallel BC \] Do đó, tứ giác \( BMNC \) có hai cạnh đối diện \( MN \) và \( BC \) song song với nhau, suy ra \( BMNC \) là hình thang. **b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?** Tứ giác \( MNPB \) có các điểm: - \( M \) là trung điểm \( AB \) - \( N \) là trung điểm \( AC \) - \( P \) là trung điểm \( BC \) Xét ba cạnh \( MN, NP, PB \): - \( MN \) là đoạn nối hai trung điểm của các cạnh \( AB \) và \( AC \). - \( NP \) là đoạn nối giữa các trung điểm của \( AC \) và \( BC \). - \( PB \) là đoạn nối giữa trung điểm \( BC \) và điểm \( B \). Nhận thấy rằng: - Cả \( MN \) và \( NP \) đều nhỏ hơn chiều dài cạnh tương ứng của tam giác \( ABC \) nhưng chúng lại tạo thành một hình có đặc điểm là có hai cặp cạnh song song. Do đó, tứ giác \( MNPB \) là một hình bình hành. **c) Gọi \( O \) là trung điểm \( MP \). Chứng minh \( B, O, N \) thẳng hàng.** Từ phần b), ta đã có rằng \( M \), \( N \), và \( P \) là trung điểm của tam giác. Khi đó, \( O \) là trung điểm của \( MP \). Theo quy tắc về trung điểm: - \( M \) và \( N \) đều nằm trên các đường chéo của hình thang \( BMNC \). - Từ tính chất của trung điểm, ta có thể chứng minh rằng điểm \( O \) nằm trên đường thẳng nối giữa \( B \) và \( N \). Cụ thể, ta có: \[ \text{Vector}(BO) = \frac{1}{2} \text{Vector}(BM) + \frac{1}{2} \text{Vector}(BP) \] Và do \( N \) cũng nằm trong vector giữa \( A \) và \( C \), suy ra \( B, O, N \) thẳng hàng. **d) Kẻ \( MC \) cắt \( BN \) tại \( G \), đường thẳng \( d \) qua \( P \) song song với \( BN \), \( d \) cắt \( MC \) tại \( J \). Chứng minh \( CJ = \frac{1}{3}CM \).** Đặt \( J \) là giao điểm của đường thẳng \( d \) (song song với \( BN \)) và \( MC \). Nhờ tính chất của các đoạn thẳng: 1. Trong tam giác \( MNC \), do điểm \( J \) nằm trên đường thẳng \( MC \) song song với \( BN \), nên theo định lý tỉ lệ trong tam giác: \[ \frac{CJ}{JM} = \frac{BN}{NP} \] Mà \( N \) là trung điểm nên \( BN \) và \( NC \) có mối quan hệ tỉ lệ: \[ CJ = \frac{1}{3}CM \text{ (vì điểm \( J \) chia đoạn \( CM \) theo tỉ lệ 1:2)} \] Kết luận: \( CJ = \frac{1}{3}CM \) như yêu cầu. Vậy là tất cả các câu hỏi đã được giải quyết. Hy vọng các bước chứng minh trên là dễ hiểu!