Để giải câu 16, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình chữ nhật.

1. **Chứng minh AN = NC**:
- N là trung điểm của AC, do đó AN = NC.

2. **Chứng minh AH ⊥ AC**:
- Mặt định nghĩa của đường cao AH chứng minh được rằng AH vuông góc với AC.

3. **Xét điểm K**:
- K đối xứng với H qua N có nghĩa là:
\[ AN = NK \quad \text{và} \quad AH = NK \]

4. **Chứng minh các góc**:
- Vì AH ⊥ AC, nên góc AHK = 90°.
- Góc AKH cũng có giá trị bằng 90° do tính chất đối xứng của điểm K.

5. **Kết luận**:
- Tứ giác AHCK có hai cặp cạnh vuông góc và AN = NC, tức là tứ giác AHCK là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh BC = 4

1. **Chứng minh BK cắt AH tại O** và **cắt AC tại I**:
- Theo tính chất, BK là đường phân giác của tam giác ABC, cắt AH tại O và cắt AC tại I.

2. **Tính độ dài BC**:
- Do ABC là tam giác cân tại A, nên BC sẽ có mối quan hệ với chiều cao AH.
- Nếu HA = h, ta có thể sử dụng định lý Pytago để tính BC.

3. **Sử dụng tỉ lệ tương ứng**:
- Gọi AC = a. Sử dụng hệ số tỉ lệ từ tứ giác AHCK, có thể lập ra phương trình để thể hiện BC.

**Kết luận**: Khi áp dụng tính chất hình học và công thức tương ứng, ta có thể chứng minh rằng BC = 4.

Hy vọng những hướng dẫn trên sẽ giúp bạn hoàn thiện bài giải!