Lý thuyết về giới hạn của dãy số.
Tóm tắt lý thuyết
1. Giới hạn hữu hạn
+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0\) khi và chỉ khi \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(u_{n}-a) = 0\).
2. Giới hạn vô cực
+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}= +∞\) khi và chỉ khi \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+ \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = -∞ \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(-u_{n})= +∞\).
3. Các giới hạn đặc biệt
a) \(\lim \frac{1}{n} = 0\);
    \(\lim \frac{1}{n^{k}} = 0\);
\(\lim n^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương.
b) \(\lim q^n= 0\) nếu \(|q| < 1\);
    \(\lim q^n= +∞\) nếu \(q > 1\).
c) \(\lim c = c\) (\(c\) là hằng số).
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= b\), thì:
\(lim\left( {{u_{n}}+{v_n}} \right)= a +b\)
\(lim{\rm{ }}({u_n} - {v_n}){\rm{ }} = {\rm{ }}a - b\)
\(lim{\rm{ }}({u_n}.{v_n}) = ab\)
\(lim{ \over } = {a \over b}\) (nếu \(b ≠ 0\)).
b) Nếu \(u_n≥ 0\) với mọi \(n\) và \(lim u_n= a\) thì \(a > 0\) và \(lim \sqrt{u_n}= \sqrt a\).
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= ± ∞\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0\).
b)  Nếu \(\lim u_n=a > 0\), \(\lim v_n= 0\) và \(v_n> 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = +∞\)
c) Nếu \(\lim u_n= +∞\) và \(\lim v_n= a > 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = +∞\).
6. Cấp số nhân lùi vô hạn
+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội \(q\) thỏa mãn \(|q| <1\).
+) Công thức tính tổng \(S\) của cấp số lùi vô hạn \((u_n)\):
\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = { \over {1 - q}}\)