Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D.
Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {CO{\rm{D}}} = {90^0}\)
b) \(CD=AC+BD\)
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Giải:

Ta có:
\(OA\perp AC\)
\(OB\perp BD\)
Suy ra Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\(\left\{\begin{matrix} CM=CA\\ DM=BD \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}\widehat{AOC}=\widehat{COM}\\ \widehat{MOD}=\widehat{DOB} \end{matrix}\right.\)
a) Ta có:
\(\widehat{AOC}+\widehat{COM}+\widehat{MOD}+\widehat{DOB}=180^o\)
\(\Leftrightarrow 2\widehat{COM}+2\widehat{MOD}=180^o\)
\(\Leftrightarrow \widehat{COM}+\widehat{MOD}=90^o\)
\(\Leftrightarrow \widehat{COD}=90^o\)
b) Ta có: 
\(CD=CM+MD=AC+BD\)
c) Xét tam giác COD vuông tại O ta có:
\(MO^2=MC.MD=AC.BD=R^2\)