Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Câu 1: Phương trình z₁ = 1 + 2i, z₂ = 2 - 3i có nghiệm là z = 2 + i khi

A. a = 1, b = 4   B. a = -1, b = 4    C. a = -1, b = -4    D. a = 1, b = -4

Câu 2: Phương trình (1 + i)² = -7 + i có các nghiệm là

A. -1 - 2i và 1 + 2i   B. -1 + 2i và 1 + 2i

C. -1 + 2i và 1 - 2i    D. 1 + 2i và 1 - 2i

Câu 3: Phương trình z² + 4x + 5 = 0 có các nghiệm là

A. 2 ± i    B. -2 ± i   C. 4 ± i   D. -4 ± i

Câu 4: Phương trình z² + 8z + 17 = 0 có hai nghiệm

A. 1 - i và 1 - 2i    B. 4 - i và 4 + i

C. -4 - i và -4 + i    D. -2 + 2i và -2 + 4i

Câu 5: Phương trình z² - 4z + 9 = 0 có hai nghiệm. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| bằng

A. – 6   B. 6   C. 8   D. 2√3

Câu 6: Phương trình z⁴ + 3z² - 4 = 0 có 4 nghiệm phức z₁, z₂, z₃, z₄. Giá trị biểu thức T = |z₁| + |z₂| + |z₃| + |z₄| bằng

A. 6    B. 2√2   C. 2 + 2√2   D. 4 + 2√2

Câu 7: Số phức z thỏa mãn

Giá trị biểu thức

A. 1    B. 2    C. 3    D. 3⁶⁷²

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 1:

Thay z = 2 + i vào phương trình đã cho ta có:

a(2 + i)² + b(2 + i) + 5 = 0 <=> 3a + 2b + 5 + (4a + b)i = 0

Câu 2:

Phương trình đã cho tương đương với

Viết -3 + 4i = 4i² + 4i + 1 = (2i + 1)², ta có: z² = (2i + 1)² <=> z = ±(2i + 1)

Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)² gặp khó khăn thì có thể đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có :

(a + bi)² = -3 + 4i <=> a² - b² + 2abi = -3 + 4i

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có b = 2/a

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có

Vì a ∈ R và a² ≥ 0 nên a² = 1 hay a = ±1 . Từ đó ta có hai nghiệm : z₁ = -1 - 2i và z₂ = 1 + 2i

Câu 3:

Ta có: Δ' = 2² - 1.5 = -1 = i². Phương trình có hai nghiệm là:

Câu 4:

Ta có: Δ = 16 - 17 = -1 = i². Phương trình có các nghiệm là:

z₁ = -4 - i, z₂ = -4 + i

Câu 5:

Ta có: Δ' = 4 - 9 = -5 = 5i². Phương trình có hai nghiệm là:

z_1,2 = 2 ± i√5

Vậy T = 2√(4 + 5) = 2√9 = 6

Câu 6:

Ta có

Vậy T = 1 + 1 + 2 + 2 = 6

Câu 7:

Ta có: z + 1/z = √3 <=> z² - √3z + 1 = 0 (1)

Xét phương trình (1): Ta có: Δ = (√3)² - 4.1.1 = -1 = i²

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

Do đó

Ta có:

Vậy T = 1 + 1 = 2