Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Ôn tập chương 3

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:

a. 13ⁿ – 1 chia hết cho 6

b. 3n³ + 15 chia hết cho 9

Lời giải:

a. Xét u_n = 13ⁿ – 1

ta có: với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6

giả sử: u_k = 13^k – 1 chia hết cho 6

Ta có: u_k+1 = 13^k+1 – 1 = 13^k+1 + 13^k – 13^k – 1

= 13^k(13 – 1) + 13^k – 1

= 12.13^k + u^k

=> u^k+1 là tổng hai số hạng, mỗi số hạng chia hết cho 6.

Vậy u^k+1 chia hết số 6

Như vậy, mỗi số hạng của dãy số (uⁿ) đều chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

b. 3n³ + 15n chia hết cho 9

Đặt u_n = 3n³ + 15n

+ Với n = 1 => u₁ = 18 chia hết 9

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

u_k = (3k² + 15k) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: u_k+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

u_k+1 = 3(k + 1)³ + 15(k + 1 ) = 3(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k³ + 15k) + 9k² + 9k + 18 = (3k³ + 15) + 9(k² + k + 2)

= u_k + 9(k² + k + 2)

Theo giả thiết u_k chia hết 9, hơn nữa 9(k² + k + 2) chia hết 9 k ≥ 1

Do đó u_k+1 cũng chia hết cho 9.

Vậy u_n = 3n³ + 15n chia hết cho 9 ∀n ∈ ∈ N*