1) Chứng minh 4 điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn:

Do ABCD là tứ giác nội tiếp, ta có hai góc ACD và ABD đối nhau nên bằng nhau. Khi đó, ta có:
∠ACD = ∠ABD = 90° (vì AD là đường cao)

Tương tự, ta có:
∠ABE = ∠ADE = 90° (vì BE là đường cao)

Do đó, 4 điểm A, B, D, E đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2) Chứng minh tam giác BHQ cân và AE.AP = AK.AQ:

Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ta có:
∠AQC = ∠ABC = ∠BHC (cùng chắn cung AH)
∠AHB = ∠ACB (cùng nhìn về cung BAC)
∠BHQ = ∠BHC + ∠CHQ = ∠ACB + ∠AQC = ∠ACQ

Từ đó, tam giác BHQ cân (với BH = BQ).

Từ tam giác AKE và tam giác APQ, ta có:
∠AKE = ∠APQ (do cùng chắn cung AE trên đường tròn (O))
∠AEK = ∠AQP (do cùng chắn cung AK trên đường tròn (O))

Vậy, tam giác AKE và tam giác APQ có hai góc tương đồng và có cạnh chung AQ. Do đó, theo định lý hai tam giác tương đồng, ta có:
∆AKE ~ ∆APQ

Từ tương đồng tam giác, ta có:
AE/AP = AK/AQ

3) Chứng minh BK vuông góc PK:

Do tam giác BHQ cân (BH = BQ), ta có:
∠BHQ = ∠BQH

Từ tam giác AKB và tam giác PAK, ta có:
∠AKB = ∠APK (do cùng chắn cung AK trên đường tròn (O))
∠ABK = ∠APK (do cùng chắn cung BK trên đường tròn (O))

Vậy, tam giác AKB và tam giác PAK có hai góc tương đồng và có cạnh chung AK. Do đó, theo định lý hai tam giác tương đồng, ta có:
∆AKB ~ ∆PAK

Từ tương đồng tam giác, ta có:
BK/PK = AK/AK

Vậy, BK = PK hoặc BK vuông góc PK.