a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần và đủ để delta của phương trình lớn hơn 0. Delta của phương trình là:

Δ = (m+1)² - 4(m-2) = m² + 2m + 9

Để Δ > 0, ta cần và đủ để m² + 2m + 9 > 0. Ta có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng công thức hoàn chỉnh:

m² + 2m + 9 = (m+1)² + 8 > 0

Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần và đủ để m² + 2m + 9 > 0.

b) Ta có:

A = x1² + x2³ - 6x1x2 = (x1 + x2)² - 2x1x2 + x2³ - 3x1x2(x1 + x2)

= (x1 + x2)² - x1x2(3x1 + 3x2 - 2)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của A. Ta sẽ chứng minh rằng A ≥ -4.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

x1x2(3x1 + 3x2 - 2) ≤ [(x1 + x2)(3x1 + 3x2 - 2)]/4

Do đó:

A = (x1 + x2)² - x1x2(3x1 + 3x2 - 2) ≥ (x1 + x2)² - [(x1 + x2)(3x1 + 3x2 - 2)]/4

= (x1 + x2)² - 3/4(x1 + x2)² + 3/4(x1 + x2)² - [(x1 + x2)(3x1 + 3x2 - 2)]/4

= 1/4(x1 + x2)² - 3/4(x1 - x2)² - 3/4(x1 + x2 - 2)² + 3

= -3/4(x1 + x2 - 2)² + 3

Vậy A ≥ -3/4(x1 + x2 - 2)² + 3.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = 1.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của -3/4(x1 + x2 - 2)² + 3. Giá trị này đạt được khi x1 + x2 = 2, tức là khi x1 = x2 = 1. Khi đó, A = -4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4