LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân sau: y" – 5y' +4y= e^–x + e^x

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân sau :
y" – 5y' +4y= e^–x + e^x
3 trả lời
Hỏi chi tiết
656
2
4
Phạm Tuyên
29/05/2023 20:05:50
+5đ tặng

Phương trình vi phân y" - 5y' + 4y = e^(-x) + e^x là một phương trình vi phân bậc hai không đồng nhất với hệ số hằng số và các thành phần không đồng nhất e^(-x) và e^x.

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình này, ta sẽ giải phương trình đặc trưng (homogeneous equation) tương ứng, đó là phương trình y" - 5y' + 4y = 0. Phương trình này là một phương trình vi phân bậc hai đồng nhất.

Giải phương trình đặc trưng, ta xác định các nghiệm của phương trình như là một tổ hợp tuyến tính của các hàm căn (exponential functions). Trong trường hợp này, ta tìm hai nghiệm riêng:

y₁(x) = e^x, y₂(x) = e^4x.

Sau đó, ta áp dụng phương pháp biến phương (variation of parameters) để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân không đồng nhất ban đầu.

Giả sử nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là y(x) = u₁(x) y₁(x) + u₂(x) y₂(x), trong đó u₁(x) và u₂(x) là các hàm chưa xác định cần tìm.

Áp dụng phương pháp biến phương, ta tính toán các đạo hàm của nghiệm tổng quát và thay vào phương trình ban đầu, sau đó giải hệ phương trình để tìm các hàm chưa xác định u₁(x) và u₂(x).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập
2
3
thảo
29/05/2023 20:06:28
+4đ tặng
Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y" – 5y' + 4y = e^–x + e^x, ta sẽ giải phương trình đặc trưng tương ứng và sử dụng phương pháp nguyên tắc cộng (principle of superposition) để tìm nghiệm tổng quát.

Bước 1: Giải phương trình đặc trưng.
Để giải phương trình đặc trưng, ta giả sử nghiệm y có dạng y = e^(rx), với r là một số thực chưa biết. Thay vào phương trình, ta có:
r^2e^(rx) - 5re^(rx) + 4e^(rx) = e^–x + e^x

Rút gọn e^(rx) và chia cho e^x, ta có:
r^2 - 5r + 4 = e^–2x + 1

Để giải phương trình này, ta sẽ giải phương trình bậc hai tương ứng:
r^2 - 5r + 4 = 0

Rút gọn phương trình, ta có:
(r - 4)(r - 1) = 0

Vậy, ta có hai nghiệm riêng cho phương trình đặc trưng: r₁ = 4 và r₂ = 1.

Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát.
Sử dụng phương pháp nguyên tắc cộng, nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu có dạng:
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)

Thay các giá trị của r₁, r₂ vào, ta có:
y = C₁e^(4x) + C₂e^x

Trong đó, C₁ và C₂ là các hằng số tùy ý.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y" – 5y' + 4y = e^–x + e^x là:
y = C₁e^(4x) + C₂e^x, với C₁ và C₂ là các hằng số tùy ý.
2
1
Thái Thảo
29/05/2023 20:07:23
+3đ tặng
Phương trình vi phân đã cho là:
y" - 5y' + 4y = e^(-x) + e^x

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình này, ta cần giải trình tự đồng nhất (homogeneous equation) trước đó, sau đó tìm một nghiệm cộng hưởng (particular solution) của phương trình không đồng nhất (nonhomogeneous equation).

1. Giải trình tự đồng nhất:
y" - 5y' + 4y = 0

Để giải trình tự đồng nhất, ta giả sử nghiệm có dạng y = e^(mx), với m là một hằng số cần tìm.

Thay vào phương trình, ta có:
m^2 e^(mx) - 5m e^(mx) + 4 e^(mx) = 0

Simplifying the equation:
e^(mx) (m^2 - 5m + 4) = 0

Điều này có nghĩa là e^(mx) = 0 (không có nghiệm) hoặc m^2 - 5m + 4 = 0.

Giải phương trình m^2 - 5m + 4 = 0, ta có:
(m - 1)(m - 4) = 0

Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: m1 = 1 và m2 = 4.

Vậy, nghiệm tổng quát của trình tự đồng nhất là:
y_homogeneous = c1 e^x + c2 e^(4x), trong đó c1 và c2 là các hằng số.

2. Tìm một nghiệm cộng hưởng của phương trình không đồng nhất:
Để tìm một nghiệm cộng hưởng của phương trình không đồng nhất, ta giả sử nghiệm có dạng y = Ae^x, với A là một hằng số cần tìm.

Thay vào phương trình, ta có:
(e^x)" - 5(e^x)' + 4e^x = e^(-x) + e^x

Simplifying the equation:
e^x - 5e^x + 4e^x = e^(-x) + e^x

Kết hợp các thành phần tương ứng, ta có:
e^x = e^(-x)

Điều này đúng với mọi giá trị của x.

Vậy, nghiệm cộng hưởng của phương trình không đồng nhất là:
y_particular = Ae^x, trong đó A là một hằng số.

3. Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu:
y_general = y_homogeneous + y_particular
          = c1 e^x + c2 e^(4x) + Ae^x
          = (c1 + A) e^x + c2 e^(4x)

Vậy

, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:
y = (c1 + A) e^x + c2 e^(4x), trong đó c1, c2, và A là các hằng số.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Đại học mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Đại học mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư