Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y" – 5y' + 4y = e^–x + e^x, ta sẽ giải phương trình đặc trưng tương ứng và sử dụng phương pháp nguyên tắc cộng (principle of superposition) để tìm nghiệm tổng quát.

Bước 1: Giải phương trình đặc trưng.
Để giải phương trình đặc trưng, ta giả sử nghiệm y có dạng y = e^(rx), với r là một số thực chưa biết. Thay vào phương trình, ta có:
r^2e^(rx) - 5re^(rx) + 4e^(rx) = e^–x + e^x

Rút gọn e^(rx) và chia cho e^x, ta có:
r^2 - 5r + 4 = e^–2x + 1

Để giải phương trình này, ta sẽ giải phương trình bậc hai tương ứng:
r^2 - 5r + 4 = 0

Rút gọn phương trình, ta có:
(r - 4)(r - 1) = 0

Vậy, ta có hai nghiệm riêng cho phương trình đặc trưng: r₁ = 4 và r₂ = 1.

Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát.
Sử dụng phương pháp nguyên tắc cộng, nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu có dạng:
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)

Thay các giá trị của r₁, r₂ vào, ta có:
y = C₁e^(4x) + C₂e^x

Trong đó, C₁ và C₂ là các hằng số tùy ý.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y" – 5y' + 4y = e^–x + e^x là:
y = C₁e^(4x) + C₂e^x, với C₁ và C₂ là các hằng số tùy ý.

Phương trình vi phân đã cho là:
y" - 5y' + 4y = e^(-x) + e^x

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình này, ta cần giải trình tự đồng nhất (homogeneous equation) trước đó, sau đó tìm một nghiệm cộng hưởng (particular solution) của phương trình không đồng nhất (nonhomogeneous equation).

1. Giải trình tự đồng nhất:
y" - 5y' + 4y = 0

Để giải trình tự đồng nhất, ta giả sử nghiệm có dạng y = e^(mx), với m là một hằng số cần tìm.

Thay vào phương trình, ta có:
m^2 e^(mx) - 5m e^(mx) + 4 e^(mx) = 0

Simplifying the equation:
e^(mx) (m^2 - 5m + 4) = 0

Điều này có nghĩa là e^(mx) = 0 (không có nghiệm) hoặc m^2 - 5m + 4 = 0.

Giải phương trình m^2 - 5m + 4 = 0, ta có:
(m - 1)(m - 4) = 0

Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: m1 = 1 và m2 = 4.

Vậy, nghiệm tổng quát của trình tự đồng nhất là:
y_homogeneous = c1 e^x + c2 e^(4x), trong đó c1 và c2 là các hằng số.

2. Tìm một nghiệm cộng hưởng của phương trình không đồng nhất:
Để tìm một nghiệm cộng hưởng của phương trình không đồng nhất, ta giả sử nghiệm có dạng y = Ae^x, với A là một hằng số cần tìm.

Thay vào phương trình, ta có:
(e^x)" - 5(e^x)' + 4e^x = e^(-x) + e^x

Simplifying the equation:
e^x - 5e^x + 4e^x = e^(-x) + e^x

Kết hợp các thành phần tương ứng, ta có:
e^x = e^(-x)

Điều này đúng với mọi giá trị của x.

Vậy, nghiệm cộng hưởng của phương trình không đồng nhất là:
y_particular = Ae^x, trong đó A là một hằng số.

3. Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu:
y_general = y_homogeneous + y_particular
          = c1 e^x + c2 e^(4x) + Ae^x
          = (c1 + A) e^x + c2 e^(4x)

Vậy

, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:
y = (c1 + A) e^x + c2 e^(4x), trong đó c1, c2, và A là các hằng số.