1. Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp:

Ta có:
- Đường kính PQ vuông góc với dây AB tại điểm D.
- Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm I.

Vì AB là đường kính của đường tròn (O), nên góc PAB là góc vuông.
Do đó, góc PDB và góc PIQ đều là góc nửa vòng (góc nằm trên cùng một dây).

Khi đó, tứ giác PDKI có hai cặp góc đối xứng nhau là góc PDB và góc PIQ.
Vậy, tứ giác PDKI là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh KB.IQ = BQ.BI:

Vì tứ giác PDKI là tứ giác nội tiếp, ta có góc PDK = góc PIK và góc PKD = góc PIQ.
Do đó, tứ giác PKDI và PKIQ đồng dạng (với hai góc bằng nhau).

Từ đây, ta có tỉ số cạnh:
KB/IQ = PK/PI (theo định lý đồng dạng tỉ số cạnh của hai tứ giác đồng dạng)
BQ/BI = PK/PI (vì PQ là đường kính, nên BQ = PK và BI = PI)

Vậy, KB.IQ = BQ.BI.

Tóm lại, đã chứng minh được:
1. Tứ giác PDKI là tứ giác nội tiếp.
2. KB.IQ = BQ.BI.