Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \cot\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \), ta cần xem xét các giá trị mà hàm cotang không xác định.

Hàm cotang (cot) không xác định khi:

\[
\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
\]

không xác định tức là khi \( \sin(x) = 0 \).

Do đó, chúng ta phải tìm các giá trị của \( x \) sao cho:

\[
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0
\]

Điều này xảy ra khi:

\[
x + \frac{\pi}{4} = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})
\]

Giải phương trình trên ta có:

\[
x = n\pi - \frac{\pi}{4}
\]

Hay viết lại:

\[
x = n\pi - \frac{\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

Vậy tập xác định của hàm \( y = \cot\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) sẽ là tập hợp tất cả các giá trị thực trừ các giá trị \( x = n\pi - \frac{\pi}{4} \).

Tóm lại, tập xác định của hàm số là:

\[
D = \mathbb{R} \setminus \left\{ n\pi - \frac{\pi}{4} \mid n \in \mathbb{Z} \right\}
\]