Để chứng minh ΔBFH ~ ΔBCM và suy ra BH/BO = 2EF/AC, ta sẽ sử dụng các tính chất của các góc và đường tròn nội tiếp. Dưới đây là quá trình chứng minh:

a) Chứng minh tứ giác ACEF nội tiếp:
Vì AE và CF là hai đường cao của ΔABC, nên ta biết AE và CF đều vuông góc với BC.
Do đó, các góc tại các đỉnh A, C, E, F đều nằm trên đường tròn đường kính BC (do BC là cạnh đường tròn nội tiếp ΔABC).
Vậy tứ giác ACEF nội tiếp trong đường tròn đường kính BC.

b) Chứng minh ΔBFH ~ ΔBCM:
Ta có:
∠BHF = ∠BCE (cùng là góc giữa đường cao BH và cạnh đáy CE trong ΔBCE)
∠BFH = ∠BMC (cùng là góc giữa đường cao BH và cạnh đáy BM trong ΔBMC)
Vì ∠BHF = ∠BCE và ∠BFH = ∠BMC, nên ΔBFH ~ ΔBCM (tương tự góc).

c) Chứng minh BH/BO = 2EF/AC:
Ta biết rằng ΔBFH ~ ΔBCM (từ bước b).
Áp dụng tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng, ta có:
BH/BO = HF/CM   (1)
Và ΔBFH ~ ΔACM (từ bước b), nên:
HF/CM = FH/AC    (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra:
BH/BO = HF/CM = FH/AC
Do đó, BH/BO = 2EF/AC (vì HF = 2EF theo tỉ lệ).

Vậy chúng ta đã chứng minh ΔBFH ~ ΔBCM và BH/BO = 2EF/AC.