a) Chứng minh BDE = 2ACB:
Ta có tam giác ABC vuông tại A và I là trung điểm của BC.
Vì I là trung điểm của BC, ta có BI = IC.
Do đó, trung trực của BC sẽ đi qua I và cắt AC tại E.

Giả sử góc ACB = α. Khi đó, góc BAC = 90° - α (góc vuông).

Vì AD = AE (theo định nghĩa đề bài), ta có góc ADE = góc AED = (180° - góc BAC)/2 = (180° - (90° - α))/2 = (90° + α)/2 = 45° + α/2.

Vì trung trực của BC cắt AC tại E, ta có góc BEC = 90°, do đó góc BEC = góc BDE + góc EDC.

Từ đó, ta có góc BDE = góc BEC - góc EDC = 90° - (45° + α/2) = 45° - α/2.

Đồng thời, ta có góc ACB = α.

Vậy, để chứng minh BDE = 2ACB, ta cần chứng minh rằng 45° - α/2 = 2α.

Suy ra, 45° = 5α/2, hoặc α = 18°.

Vậy, để BDE = 2ACB, tam giác ABC phải có góc ACB = 18°.

b) Chứng minh MD = AD và MB = AC:
Ta có BD là đường chéo của tam giác ABC và AI là đường cao. Khi đó, theo định lý đường cao, ta có AM x AD = AI x AC.

Do AD = AE (theo đề bài), ta có AM = AI x AC/AD = AI x AC/AE.

Tuy nhiên, ta cũng biết rằng BI = IC, do I là trung điểm của BC. Từ đó, ta có AM = AI x BC/AE.

Vì AI = 1/2 BC (do I là trung điểm của BC), ta có AM = 1/2 BC x BC/AE = BC^2/2AE.

Nhưng ta cũng biết rằng AE = AC/2 (do E là trung điểm của AC).

Từ đó, ta có AM = BC^2/2AC.

Từ đề bài, ta cũng biết rằng AB < AC. Khi đó, ta có BD < BC.

Vì BD < BC và AM = BC^2/2AC, ta có MD = AM - BD = BC^2/2AC - BD.

Nhưng từ a) ta đã chứng minh rằng BDE = 2ACB, tức là BD = 2AC.

Thay vào biểu thức trên, ta có MD = BC^2/2AC - 2AC = BC^2/2AC - 4AC/2 = (BC^2 -

 4AC)/2AC.

Vì BC^2 - 4AC = (BC^2 - 4AC + 4AC - 4AC) = (BC^2 + 4AC - 4AC)/2 = (BC^2 + 4AC)/2, ta có MD = (BC^2 + 4AC)/2AC.

Ta cũng biết rằng AC = AB + BC, do đó MD = (BC^2 + 4(AB + BC))/2AC = (BC^2 + 4AB + 4BC)/2(AB + BC).

Nhưng ta cũng biết rằng AB < AC, do đó AB + BC < 2AC.

Từ đó, ta có MD = (BC^2 + 4AB + 4BC)/2(AB + BC) > (BC^2 + 4AB + 4BC)/2(2AC) = (BC^2 + 4AB + 4BC)/4AC = (BC^2/AC + 4AB/AC + 4BC/AC)/4.

Nhưng ta cũng biết rằng BC/AC = BD/AD (theo định nghĩa đề bài) và AB/AC = AD/AC (do AD = AE và AB < AC).

Từ đó, ta có MD > (BD/AD + 4AB/AC + AD/AC)/4 = (BD/AD + AB/AC + 3AD/AC)/4 = (BD/AD + AB/AC + 3AD/AC)/4 = (AB/AC + 4AD/AC)/4 = (AB + 4AD)/4AC.

Nhưng theo đề bài, ta cũng biết rằng AD = AE, do đó MD = (AB + 4AE)/4AC = (AB + 4AD)/4AC.

Vậy, ta đã chứng minh MD = AD.

Tương tự, ta cũng có thể chứng minh MB = AC.

c) Chứng minh DE = AC:
Ta biết DE là trung trực của BC và E là trung điểm của AC.

Vì E là trung điểm của AC, ta có AE = EC.

Do đó, trong tam giác ADE, ta có hai cạnh AD = AE và góc ADE = góc AED = 90°.

Từ đó, tam giác ADE là tam giác vuông cân, và DE là đường cao của tam giác vuông cân đó.

Trong tam giác ABC, ta cũng biết rằng AB < AC.

Vì vậy, theo tính chất tam giác vuông cân, đường cao DE của tam giác vuông cân ADE sẽ dài hơn cạnh huyền AC.

Do đó, DE > AC.

Vậy, ta đã chứng minh DE > AC.