a) Ta có hình chữ nhật ABCD với AB = 8cm và BC = 15cm. Để tính độ dài BD, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = 8^2 + 15^2

AC^2 = 64 + 225

AC^2 = 289

AC = √289

AC = 17cm

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD, vậy độ dài BD là 17cm.

b) Vẽ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Ta có tam giác vuông AHB.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB:

AH^2 = AB^2 + BH^2

AH^2 = 8^2 + BD^2

AH^2 = 8^2 + 17^2

AH^2 = 64 + 289

AH^2 = 353

Vậy độ dài AH là √353 cm.

c) Ta có tam giác AHK và tam giác AHI có cạnh chung AH.

Áp dụng định lý đường cao trong tam giác vuông AHI:

AH^2 = HI^2 + AI^2

Áp dụng định lý đường cao trong tam giác vuông AHK:

AH^2 = HK^2 + AK^2

Vì AI = AK (cùng là đường cao của tam giác ABCD), nên ta có:

HI^2 + AI^2 = HK^2 + AK^2

HI^2 + AI^2 = HK^2 + AI^2

HI^2 = HK^2

Vậy ta đã chứng minh được AH^2 = HI . HK.