Để chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các điều kiện sau:
1. AM = CK
2. AC ⊥ MK
3. AM ⊥ CK

Chứng minh:
1. Vì tam giác ABC cân tại A, nên I là trung điểm của AC. Do đó, AI = IC.
Vì K là điểm đối xứng của M qua I, nên IM = MK.
Từ đó, ta có AM = AI + IM = AI + MK = AI + IC = AC = CK.
Vậy, AM = CK.

2. Ta có tam giác ABC cân tại A, nên đường trung tuyến AM là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AM ⊥ BC.
Vì K là điểm đối xứng của M qua I, nên MK ⊥ BC.
Vậy, AM ⊥ MK.

3. Ta đã chứng minh AM = CK.
Vì tam giác AMK là tam giác vuông tại M, nên AM ⊥ MK.
Vậy, AM ⊥ CK.

Từ các điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

Để chứng minh AB = MK, ta cần chứng minh AM = BM.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên I là trung điểm của AC.
Vì K là điểm đối xứng của M qua I, nên IM = MK.
Vậy, ta có AM = AI + IM = AI + MK = AI + IM = AM + BM.
Từ đó, ta có AM = BM.

Vậy, ta đã chứng minh được AB = MK.

Để tứ giác AMCK là hình vuông, ta cần thêm một điều kiện nữa là AM = CK = MK.

Tóm lại, để tứ giác AMCK là hình vuông, tam giác ABC cần là tam giác cân tại A và AM = CK = MK.