a) Ta có BM = DN (theo đề bài). Ta cũng có AB = AD (vì ABCD là hình vuông). Vì BM = DN và AB = AD, nên theo nguyên lý cạnh-cạnh-cạnh, ta có tam giác ABM = tam giác ADN.

b) Ta có BM = DN (theo đề bài). Ta cũng có BM || DN (vì BM = DN và AB || CD). Vì BM = DN và BM || DN, nên theo nguyên lý cạnh-đối-cạnh, ta có tam giác AMN vuông cân.

c) Gọi góc MAN là α. Tia phân giác của góc MAN chia góc MAN thành hai góc bằng nhau, mỗi góc là α/2. Vì MP là tia phân giác của góc MAN, nên góc MPA = α/2. Ta cũng có góc MPA = góc MPB + góc BPA. Vì MPB = α/2 (vì MP là tia phân giác của góc MAN) và góc BPA = góc BPC = 90° (vì ABCD là hình vuông), nên góc MPA = α/2 = 90°. Vậy MP = BM + DP.

d) Gọi AP cắt MN tại I. Ta cần chứng minh B, I, D thẳng hàng. Ta có góc MPA = 90° (theo câu c), góc MPB = α/2 (vì MP là tia phân giác của góc MAN), và góc BPC = 90° (vì ABCD là hình vuông). Vì góc MPA = 90° và góc MPB + góc BPC = α/2 + 90° = 90°, nên góc MPA + góc MPB + góc BPC = 90° + α/2 + 90° = 180°. Vậy ta có B, I, D thẳng hàng.