a) Ta có:
(4m+3)² = |n-4| + |n-2024|
Đặt x = n-4, y = n-2024, ta có:
(4m+3)² = |x| + |y|
Ta sẽ xét từng trường hợp của x và y:
- Khi x ≥ 0 và y ≥ 0, ta có:
(4m+3)² = x + y
(4m+3)² ≥ 0
Vì (4m+3)² là một số không âm, nên x + y cũng phải không âm. Tuy nhiên, x và y đều không âm, nên x + y ≥ 0. Vậy phương trình luôn đúng với mọi m và n.
- Khi x ≥ 0 và y < 0, ta có:
(4m+3)² = x - y
(4m+3)² ≥ 0
Tương tự như trường hợp trên, phương trình luôn đúng với mọi m và n.
- Khi x < 0 và y ≥ 0, ta có:
(4m+3)² = -x + y
(4m+3)² ≥ 0
Tương tự như trường hợp trên, phương trình luôn đúng với mọi m và n.
- Khi x < 0 và y < 0, ta có:
(4m+3)² = -x - y
(4m+3)² ≥ 0
Tương tự như trường hợp trên, phương trình luôn đúng với mọi m và n.

Vậy phương trình (4m+3)² = |n-4| + |n-2024| luôn đúng với mọi m và n.

b) Ta có:
4^m+1 = |n+2| + |n-2|
Đặt x = n+2, y = n-2, ta có:
4^m+1 = |x| + |y|
Tương tự như phần a), ta xét từng trường hợp của x và y:
- Khi x ≥ 0 và y ≥ 0, ta có:
4^m+1 = x + y
Điều này không thể xảy ra vì 4^m+1 là một số lẻ, trong khi x + y có thể là số chẵn.
- Khi x ≥ 0 và y < 0, ta có:
4^m+1 = x - y
Điều này không thể xảy ra vì 4^m+1 là một số lẻ, trong khi x - y có thể là số chẵn.
- Khi x < 0 và y ≥ 0, ta có:
4^m+1 = -x + y
Điều này không thể xảy ra vì 4^m+1 là một số lẻ, trong khi -x + y có thể là số chẵn.
- Khi x < 0 và y < 0, ta có:
4^m+1 = -x - y
Điều này không thể xảy ra vì 4^m+1 là một số lẻ, trong khi -x - y có thể là số chẵn.

Vậy không tồn tại các số tự nhiên m và các số nguyên n thỏa mãn phương trình 4^m+1 = |n+2| + |n-2|.