Để rút gọn phân thức $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 4x + 4}$, ta cần phân tích đa thức trên và dưới phân thức thành các thừa số nhân với nhau.

Đầu tiên, ta phân tích đa thức trên:
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Tiếp theo, ta phân tích đa thức dưới:
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)$

Vậy phân thức ban đầu có thể rút gọn thành:
$\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 4x + 4} = \frac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 2)(x + 2)}$

Khi đó, ta có thể loại bỏ các thừa số chung trong tử số và mẫu số, ta được:
$\frac{x + 3}{x + 2}$

Vậy phân thức ban đầu đã được rút gọn thành $\frac{x + 3}{x + 2}$.