Để tìm giao tuyến của (MNI) và (ABC), ta cần tìm điểm giao của hai đường thẳng này.

Gọi P là giao điểm của đường thẳng MN và BC. Ta cần chứng minh rằng P cũng thuộc đường thẳng (ABC).

Vì MN không song song với BC, nên ta có thể áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng MN:
$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CN}{NA} = 1$

Vì I thuộc miền trong tam giác ABD, nên ta có $\frac{AI}{ID} > 1$. Khi đó, ta có thể chứng minh rằng $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CN}{NA} > 1$.

Do đó, P thuộc đoạn thẳng BC, tức là P cũng thuộc đường thẳng (ABC).

Vậy, giao tuyến của (MNI) và (ABC) là đường thẳng BC.