Để chứng minh tứ giác ADOF là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối xứng qua đường chéo AD và OF và hai cặp góc đối xứng qua đường chéo AD và OF.

1. Chứng minh cặp cạnh đối xứng qua đường chéo AD:
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: OM song song với AB (do đường thẳng OM song song với AB cắt BC tại M).
Do đó, ta có AM = MB.
Mà tam giác ABC là tam giác đều, nên AM = MC.
Vậy, ta có AM = MC = MB.
Suy ra, tứ giác ADOF là hình thang cân với AD = OF.

2. Chứng minh cặp cạnh đối xứng qua đường chéo OF:
Gọi N là trung điểm của AC.
Ta có: ON song song với BC (do đường thẳng ON song song với BC cắt AC tại N).
Do đó, ta có BN = NC.
Mà tam giác ABC là tam giác đều, nên BN = NA.
Vậy, ta có BN = NA = NC.
Suy ra, tứ giác ADOF là hình thang cân với OF = AD.

3. Chứng minh cặp góc đối xứng qua đường chéo AD:
Gọi G là giao điểm của OF và BC.
Ta có: OG song song với AB (do đường thẳng OG song song với AB cắt BC tại G).
Do đó, ta có ∠OGF = ∠OAB (cùng là góc đối).
Mà tam giác ABC là tam giác đều, nên ∠OAB = ∠ACB.
Vậy, ta có ∠OGF = ∠ACB.
Suy ra, tứ giác ADOF là hình thang cân với ∠ADF = ∠ACB.

4. Chứng minh cặp góc đối xứng qua đường chéo OF:
Gọi H là giao điểm của AD và BC.
Ta có: OH song song với AC (do đường thẳng OH song song với AC cắt BC tại H).
Do đó, ta có ∠OHF = ∠OAC (cùng là góc đối).
Mà tam giác ABC là tam giác đều, nên ∠OAC = ∠CBA.
Vậy, ta có ∠OHF = ∠CBA.
Suy ra, tứ giác ADOF là hình thang cân với ∠ODA = ∠CBA.

Từ các bước chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác ADOF là hình thang cân.