A. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AM là đường cao của tam giác ABC. Vì M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC.
Giả sử ta có tam giác CMP vuông tại M và tam giác MBN vuông tại N. Ta cần chứng minh CMP ≅ MBN.
- Ta có CM = BM (vì M là trung điểm của BC)
- Ta có ∠CMP = ∠MBN (vì cả hai đều vuông)
- Ta có ∠MCP = ∠NBM (vì cả hai đều vuông)
Vậy theo góc-góc-góc, ta có CMP ≅ MBN.

B. Ta cần chứng minh tam giác APM ≅ MNA để chứng minh tứ giác APMN là hình chữ nhật.
- Ta có AM = AM (cạnh chung)
- Ta có ∠APM = ∠MNA (vì cả hai đều vuông)
- Ta có ∠AMP = ∠MAN (vì cả hai đều vuông)
Vậy theo góc-góc-góc, ta có APM ≅ MNA.

C. Ta cần chứng minh tam giác AMC ≅ QMC để chứng minh tứ giác AMCQ là hình thoi.
- Ta có AM = MQ (vì P là trung điểm của MQ)
- Ta có AC = MC (vì M là trung điểm của BC)
- Ta có ∠AMC = ∠QMC (vì cả hai đều vuông)
Vậy theo cạnh-góc-cạnh, ta có AMC ≅ QMC.

D. Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A, ta cần chứng minh tứ giác AMCQ là hình vuông.
- Ta đã chứng minh ở câu C rằng AMCQ là hình thoi.
- Ta có AM = AC (vì A là trung điểm của MC)
- Ta có ∠AMC = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A)
Vậy theo cạnh-góc-cạnh, ta có AMCQ là hình vuông.