Đặt x là số ha trồng rau và y là số ha trồng hoa.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
x + y = 8 (1)
20x + 30y ≤ 180 (2)
Lợi nhuận từ việc trồng rau là 3 triệu/ha và từ việc trồng hoa là 4 triệu/ha.
Lợi nhuận từ việc trồng rau là 3x triệu và từ việc trồng hoa là 4y triệu.
Ta cần tìm số lợi nhuận cao nhất, nên ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu:
L = 3x + 4y
Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị.
Đặt hàm f(x, y) = 3x + 4y.
Vẽ đồ thị của hàm f(x, y) = 3x + 4y trên mặt phẳng Oxy.
Đồ thị của hàm f(x, y) là một đường thẳng có hệ số góc là -3/4.
Đồ thị của hàm f(x, y) cắt đường thẳng x + y = 8 tại điểm (4, 4).
Để tìm số lợi nhuận cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm f(x, y) trên đường thẳng x + y = 8.
Đặt y = 8 - x.
Thay y = 8 - x vào hàm f(x, y), ta được:
L = 3x + 4(8 - x) = 3x + 32 - 4x = -x + 32
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm L = -x + 32, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x.
Điều kiện x + y = 8 ta có x + (8 - x) = 8, suy ra y = 8 - x.
Thay y = 8 - x vào 20x + 30y ≤ 180, ta được:
20x + 30(8 - x) ≤ 180
20x + 240 - 30x ≤ 180
-10x ≤ -60
x ≥ 6
Vậy, x ≥ 6.
Do đó, số lợi nhuận cao nhất từ việc gia đình trồng rau và hoa là 32 triệu (khi x = 6, y = 2).