a, Để chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó là đường trung bình và đường cao của tam giác ABC.

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:
- Vì M là trung điểm của AB nên AM là đường trung bình của tam giác ABC.
- Vì MD vuông góc AB nên MD là đường cao của tam giác ABC.
- Vì ME vuông góc AC nên ME là đường cao của tam giác ABC.

Do đó, tứ giác ADME có hai đường chéo là đường trung bình và đường cao của tam giác ABC, nên nó là hình chữ nhật.

b, Để tứ giác ADME là hình vuông, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó là đường trung bình và đường cao của tam giác ABC và hai đường chéo này cùng nhau.

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:
- Vì M là trung điểm của AB nên AM là đường trung bình của tam giác ABC.
- Vì MD vuông góc AB nên MD là đường cao của tam giác ABC.
- Vì ME vuông góc AC nên ME là đường cao của tam giác ABC.

Để tứ giác ADME là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là hai đường chéo của nó cùng nhau. Tức là AM = MD = ME.

Từ đó, ta có điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông là: AM = MD = ME.