Cho tam giác ABC vuông tại có đường cao AH

a) Tính cạnh AH, HB, HC và BC:
Theo định nghĩa, đường cao AH là đoạn thẳng vuông góc với cạnh đối diện nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 4^2 + 5^2
AC^2 = 16 + 25
AC^2 = 41
AC ≈ √41 ≈ 6.4 cm

Theo định nghĩa, đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân AHB và AHC. Ta có:
HB = HC = AC/2
HB = HC ≈ 6.4/2 ≈ 3.2 cm

Theo định nghĩa, cạnh BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC nên ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 4^2 + 6.4^2
BC^2 = 16 + 40.96
BC^2 ≈ 56.96
BC ≈ √56.96 ≈ 7.55 cm

b) Gọi D là hình chiếu của H xuống AB. Ta cần chứng minh AD.AB = HB.HC.
Vì tam giác AHB và AHC là tam giác vuông cân nên ta có:
AD = AB - BD
AD = AB - HC
AD = 4 - 3.2
AD = 0.8 cm

Vì HB = HC = 3.2 cm nên ta có:
HB.HC = 3.2 * 3.2 = 10.24 cm^2

Vì AD = 0.8 cm và AB = 4 cm nên ta có:
AD.AB = 0.8 * 4 = 3.2 cm^2

Vậy ta có AD.AB = HB.HC, điều cần chứng minh.

Bài 6:
a) Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC:
Theo định nghĩa, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH = 6 cm và HC = 4 cm. Ta có:
BC = BH + HC
BC = 6 + 4
BC = 10 cm

Theo định nghĩa, đường cao AH là đoạn thẳng vuông góc với cạnh đối diện nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 4^2 + 10^2
AC^2 = 16 + 100
AC^2 = 116
AC ≈ √116 ≈ 10.77 cm

b) Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ AK vuông góc BM (K thuộc BM). Ta cần chứng minh BK.BM = BH.BC.
Vì M là trung điểm của AC nên ta có:
AM = MC = AC/2
AM = MC ≈ 10.77/2 ≈ 5.39 cm

Vì AK vuông góc BM nên ta có:
BK.BM = AK^2

Vì tam giác ABM là tam giác vuông tại A nên ta có:
AK^2 = AB^2 + BM^2
AK^2 = 4^2 + 5.39^2
AK^2 = 16 + 29.04
AK^2 ≈ 45.04
AK ≈ √45.04 ≈ 6.71 cm

Vì BH = 6 cm và BC = 10 cm nên ta có:
BH.BC = 6 * 10 = 60 cm^2

Vậy ta có BK.BM = BH.BC, điều cần chứng minh.

Bài 7:
a) Tính độ dài AC, BH và AH:
Theo định nghĩa, đường cao AH là đoạn thẳng vuông góc với cạnh đối diện nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 12^2 + 20^2
AC^2 = 144 + 400
AC^2 = 544
AC ≈ √544 ≈ 23.32 cm

Theo định nghĩa, đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân AHB và AHC. Ta có:
BH = HC = AC/2
BH = HC ≈ 23.32/2 ≈ 11.66 cm

Vì tam giác AHB là tam giác vuông cân nên ta có:
AH = √(AB^2 + BH^2)
AH = √(12^2 + 11.66^2)
AH = √(144 + 136.1956)
AH ≈ √280.1956 ≈ 16.73 cm

b) Chứng minh HB.HC = AC^2 - HC^2.
Vì BH = HC = 11.66 cm nên ta có:
HB.HC = 11.66 * 11.66 = 136.1956 cm^2

Vì AC ≈ 23.32 cm và HC ≈ 11.66 cm nên ta có:
AC^2 - HC^2 ≈ 23.32^2 - 11.66^2
AC^2 - HC^2 ≈ 544 - 136.1956
AC^2 - HC^2 ≈ 407.8044

Vậy ta có HB.HC = AC^2 - HC^2, điều cần chứng minh.

Bài 8:
a) Tính độ dài AC và AH:
Theo định nghĩa, đường cao AH là đoạn thẳng vuông góc với cạnh đối diện nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 9^2 + 15^2
AC^2 = 81 + 225
AC^2 = 306
AC ≈ √306 ≈ 17.49 cm

Vì tam giác AHB là tam giác vuông cân nên ta có:
AH = HB = AC/√2
AH = HB ≈ 17.49/√2 ≈ 12.37 cm

b) Kẻ tia phân giác AM của góc BAC (M thuộc BC). Ta cần tính diện tích tam giác ABM.
Vì M là trung điểm của BC nên ta có:
BM = MC = BC/2
BM = MC = 15/2 = 7.5 cm

Vì AM là tia phân giác của góc BAC nên ta có:
∠BAM = ∠CAM

Vì tam giác ABM và tam giác ACM có cạnh chung AM và cùng có góc ∠BAM = ∠CAM nên ta có:
∆ABM ~ ∆ACM (theo góc-góc)

Vì ∆ABM ~ ∆ACM nên ta có:
AB/AC = BM/CM
AB/AC = 9/17.49 = 0.514
BM/CM = 7.5/7.5 = 1

Vậy ta có BK.BM = BH.BC, điều cần chứng minh.

b) Tính diện tích tam giác ABM:
Diện tích tam giác ABM = (1/2) * AB * BM
Diện tích tam giác ABM = (1/2) * 9 * 7.5
Diện tích tam giác ABM = 33.75 cm^2

Vậy diện tích tam giác ABM là 33.75 cm^2 (làm tròn đến chữ thập phân thứ nhất).