Chứng minh rằng tam giác ABD vuông

a) Ta có DH là đường cao của tam giác DAB, vậy DH vuông góc với AB. Mà DH = 6 cm, BH = 4,5 cm, nên AH = AB - BH = 2BH = 9 cm.
Vì DH vuông góc với AB và AH = 9 cm, nên tam giác ABD là tam giác vuông tại A.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABD, ta có:
AD^2 = AB^2 - BD^2
AD^2 = (2AH)^2 - (2BH)^2
AD^2 = 4AH^2 - 4BH^2
AD^2 = 4(9^2) - 4(4.5^2)
AD^2 = 324 - 81
AD^2 = 243
AD = √243 = 3√3 cm

b) G là trung điểm BD, nên OG song song với FD.
Vì OG song song với FD và OG cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn O tại F, nên FD là tiếp tuyến đường tròn O.

c) Ta có DH là đường cao của tam giác DAB, nên góc DAF = góc BAG (cùng là góc giữa đường cao và đường tròn).

d) Ta có AF là đường chân của đường cao DH, nên AF vuông góc với DH.
Vì AF vuông góc với DH và AF cắt DO, DH tại I, nên I là trung điểm của AF.
Vì AF vuông góc với DH và AF cắt DO, DH tại P, nên P là trung điểm của AF.
Vậy ta có: IP = PI = 1/2 AF.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABD, ta có:
AD^2 = AB^2 - BD^2
AD^2 = (2AH)^2 - (2BH)^2
AD^2 = 4AH^2 - 4BH^2
AD^2 = 4(9^2) - 4(4.5^2)
AD^2 = 324 - 81
AD^2 = 243
AD = √243 = 3√3 cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác DIA, ta có:
DI^2 = DA^2 - IA^2
DI^2 = (3√3)^2 - (1/2 AF)^2
DI^2 = 27 - (1/4 AF^2)
DI^2 = 27 - (1/4 (2IP)^2)
DI^2 = 27 - (1/4 (2(1/2 AF))^2)
DI^2 = 27 - (1/4 (AF)^2)
DI^2 = 27 - (1/4 (4^2))
DI^2 = 27 - 4
DI^2 = 23
DI = √23 cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BPI, ta có:
BP^2 = BI^2 + PI^2
BP^2 = (1/2 AF)^2 + (√23)^2
BP^2 = (1/4 AF^2) + 23
BP^2 = (1/4 (2IP)^2) + 23
BP^2 = (1/4 (2(1/2 AF))^2) + 23
BP^2 = (1/4 (AF)^2) + 23
BP^2 = (1/4 (4^2)) + 23
BP^2 = 4 + 23
BP^2 = 27
BP = √27 cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác DIA, ta có:
IA^2 = DI^2 + AD^2
IA^2 = (√23)^2 + (3√3)^2
IA^2 = 23 + 27
IA^2 = 50
IA = √50 cm

Diện tích BPIO = 1/2 BP * IO = 1/2 √27 * √23 = 1/2 √621 cm^2

Diện tích DIA = 1/2 DI * IA = 1/2 √23 * √50 = 1/2 √1150 cm^2

Vậy diện tích BPIO = diện tích DIA.