Để chứng minh các quan hệ trong bài toán, ta sẽ sử dụng các định lí và quy tắc trong hình học Euclid.

1. Chứng minh AO vuông góc EF:
- Ta có AB ⊥ AC (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O)).
- Do đó, AD là đường cao của tam giác ABC, nên AD ⊥ BC.
- Khi đó, ta có AO ⊥ BC (do AO là đường trung trực của BC).
- Từ đó, suy ra AO ⊥ EF (do EF song song với BC).

2. Chứng minh tam giác AEQ đồng dạng tam giác ABI:
- Ta có AB ⊥ AC (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O)).
- Do đó, AE ⊥ AC (do AE là đường trung trực của AC).
- Từ đó, suy ra tam giác AEQ đồng dạng tam giác ABI (do có hai góc vuông bằng nhau).

3. Chứng minh QI song song với HM:
- Ta có AB ⊥ AC (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O)).
- Do đó, AI ⊥ BC (do AI là đường trung trực của BC).
- Từ đó, suy ra QI ⊥ BC (do QI là đường trung trực của BC).
- Khi đó, QI song song với HM (do QI và HM cùng vuông góc với BC).

Như vậy, ta đã chứng minh được các quan hệ trong bài toán.