a) Ta có I là trung điểm của AC nên AI = IC. Vì J là trung điểm của BC nên BJ = JC. Do đó, ta có AI = IC = BJ = JC. Khi đó, tứ giác AIJB là hình bình hành.

Vì BK = 2KD nên tứ giác BDK là tứ giác cân tại B. Do đó, BD là trục đối xứng của DK qua trung điểm của DK. Gọi E là giao điểm của CD với mp(IJK). Ta có DE = DC (do DK là trục đối xứng của BD qua trung điểm của BD).

b) Ta có AI = IC và BJ = JC (vì I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC). Vì tứ giác AIJB là hình bình hành nên AI || BJ.

Gọi F là giao điểm của AD với mp(IJK). Ta có FA || BJ (do AI || BJ) và AI = IC (vì I là trung điểm của AC). Vì vậy, tứ giác FICJ là hình bình hành.

Do đó, ta có FI = CJ và IC = FJ. Từ đó, ta có FA = FI + IA = CJ + IC = 2CJ = 2FJ.

Vậy FA = 2FD.

c) Ta có AI || BJ (vì tứ giác AIJB là hình bình hành).

Gọi G là giao điểm của FK và IJ. Ta cần chứng minh FG || IJ.

Áp dụng định lí Thales, ta có:

FG/IK = FK/IJ

Vì FK = 2KD và IK = 2KC (vì I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC) nên ta có:

FG/2KC = 2KD/IJ

Từ đó, ta có:

FG/IJ = 4KD/2KC = 2KD/KC

Vì BK = 2KD nên ta có:

FG/IJ = 2BK/KC = 2

Do đó, FG || IJ.

d) Gọi M là giao điểm của MN với AB. Ta cần tìm giao điểm của MN với mp(IJK).

Gọi P là giao điểm của MN với mp(IJK). Ta cần chứng minh P là trung điểm của MN.

Áp dụng định lí Thales, ta có:

PM/IK = PN/IJ

Vì IK = 2KC và IJ = 2KC (vì I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC) nên ta có:

PM/2KC = PN/2KC

Từ đó, ta có:

PM = PN

Vậy P là trung điểm của MN.