Tìm quỹ tích điểm M

a) Để ab // (mij), ta cần tìm điều kiện để hai đường thẳng ab và ij có cùng vector chỉ phương.

Gọi M là trung điểm của ij, ta có:
AM = \(\frac{1}{2}\)AD = \(\frac{1}{2}\)a
AB = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)a

Vậy tam giác ABM và ADM đồng dạng, từ đó suy ra:
\(\frac{BM}{DM}\) = \(\frac{AB}{AD}\) = \(\frac{1}{2}\)

Do đó, ta có điều kiện để ab // (mij) là BM = \(\frac{1}{2}\)DM.

b) Để xác định thiết diện của abcd cắt bởi (mij), ta cần tìm điều kiện để hai đường thẳng ab và ij không cắt nhau.

Gọi N là trung điểm của ab, ta có:
AN = \(\frac{1}{2}\)AD = \(\frac{1}{2}\)a
AJ = \(\frac{2}{3}\)AD = \(\frac{2}{3}\)a

Vậy tam giác ANJ và ADJ đồng dạng, từ đó suy ra:
\(\frac{NJ}{DJ}\) = \(\frac{AN}{AD}\) = \(\frac{1}{2}\)

Do đó, ta có điều kiện để ab // (mij) là NJ = \(\frac{1}{2}\)DJ.