Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông vân tại A. Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của EF, BE, CF

Để chứng minh tam giác MJI là tam giác vuông cân, ta cần chứng minh MJ = MI.

Ta có:
- Vì M là trung điểm của EF nên ta có ME = MF.
- Vì I là trung điểm của BE nên ta có BI = IE.
- Vì J là trung điểm của CF nên ta có CJ = JF.

Ta cần chứng minh MJ = MI, tức là chứng minh MJ - MI = 0.

Ta có:
MJ - MI = (ME + EJ) - (MI + IE) = (ME + CJ) - (MI + IE) (vì CJ = JF)
= (ME + CJ) - (MI + BI) (vì BI = IE)
= (ME + CJ) - (MI + CJ) (vì ME = MF)
= ME - MI.

Vậy ta chỉ cần chứng minh ME - MI = 0.

Ta có:
ME - MI = (ME - MF) + (MF - MI) = EF + (MF - MI).

Ta cần chứng minh EF + (MF - MI) = 0.

Ta có:
- Vì tam giác BAE và CAF vuông cân tại A nên ta có BA = AE và CA = AF.
- Vì I là trung điểm của BE nên ta có BI = IE.
- Vì J là trung điểm của CF nên ta có CJ = JF.

Ta có:
MF - MI = (MF - CJ) + (CJ - MI) = (AF - CJ) + (CJ - BI) (vì AF = CJ)
= AF - BI.

Vậy ta chỉ cần chứng minh EF + (AF - BI) = 0.

Ta có:
EF + (AF - BI) = EF + AF - BI = AE + AF - BI (vì BA = AE)
= (AE + AF) - BI = EF - BI.

Vậy ta chỉ cần chứng minh EF - BI = 0.

Ta có:
EF - BI = (EF - ME) + (ME - BI) = EF + (ME - BI).

Vậy ta chỉ cần chứng minh EF + (ME - BI) = 0.

Ta có:
ME - BI = (ME - MI) + (MI - BI) = ME + (MI - BI).

Vậy ta chỉ cần chứng minh ME + (MI - BI) = 0.

Ta có:
ME + (MI - BI) = ME + IE - BI = ME + IE - IE (vì BI = IE)
= ME.

Vậy ta chỉ cần chứng minh ME = 0.

Ta có:
ME = MF - EF.

Vậy ta chỉ cần chứng minh MF = EF.

Ta có:
- Vì tam giác BAE và CAF vuông cân tại A nên ta có BA = AE và CA = AF.
- Vì tam giác ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đường kính BC nên ta có BA = BC.
- Vì tam giác ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đường kính BC nên ta có CA = CB.

Từ các điều trên, ta có:
BA = BC = CA = AE = AF.

Vậy ta có MF = AF = AE = EF.

Vậy ta đã chứng minh được ME = 0.

Do đó, ta có MJ - MI = ME - MI = 0.

Vậy tam giác MJI là tam giác vuông cân.