Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho BD/BC = 3/4, điểm E trên cạnh AD sao cho AE/AD = 1/3. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số AK/KC

Để tính tỉ số AK/KC, ta cần tìm giá trị của AK và KC.

Ta có:
BD/BC = 3/4
=> BD = 3/4 * BC

AE/AD = 1/3
=> AE = 1/3 * AD

Vì AE + ED = AD, nên ta có:
1/3 * AD + ED = AD
=> ED = 2/3 * AD

Áp dụng định lý Ceva trong tam giác ABC, ta có:
BD/DC * CE/EA * AK/KB = 1
3/4 * CE/EA * AK/KB = 1
=> CE/EA * AK/KB = 4/3

Vì CE/EA = (CA - CE)/EA = AC/EA - 1
Và AK/KB = (AC - AK)/KB = AC/KB - 1

Thay vào biểu thức trên, ta có:
(AC/EA - 1) * (AC/KB - 1) = 4/3
=> AC^2/(EA * KB) - AC/EA - AC/KB + 1 = 4/3
=> AC^2/(EA * KB) - AC/EA - AC/KB = 1/3

Vì AE/AD = 1/3, nên AE = AD/3
Và BD/BC = 3/4, nên BD = 3/4 * BC

Thay vào biểu thức trên, ta có:
AC^2/((AD/3) * (3/4 * BC)) - AC/(AD/3) - AC/(3/4 * BC) = 1/3
=> AC^2/(AD * BC) - 3AC/AD - 4AC/BC = 1/3

Gọi x = AC/AD và y = AC/BC, ta có:
x^2/y - 3x - 4/y = 1/3

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 3y, ta có:
3xy^2 - 9xy - 12 = y
=> 3xy^2 - 9xy - y - 12 = 0
=> 3xy^2 - 10xy - 12 = 0

Giải phương trình trên, ta được:
xy = 4 hoặc xy = -4/3

Vì x = AC/AD và y = AC/BC, nên x và y đều là các tỉ số dương.
Do đó, ta có xy = 4.

Vậy, tỉ số AK/KC = x - 1 = AC/AD - 1 = xy - 1 = 4 - 1 = 3.

Tổng kết lại, tỉ số AK/KC là 3.