Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có BC là đường kính. Gọi H và G lần lượt là hình chiếu của điểm O lên AB và AC

1) Ta có:
- Vì BC là đường kính của đường tròn (O) nên OH là đường cao của tam giác ABC. Do đó, OH vuông góc với AB và AC.
- Gọi M là trung điểm của BC. Ta có: OM là đường phân giác của góc BOC (do BC là đường kính), nên OM vuông góc với BC. Mà OH vuông góc với BC, nên OH // OM.
- Vì OH // OM và M là trung điểm của BC, nên H là hình chiếu của O lên AB và G là hình chiếu của O lên AC.
- Vì OH vuông góc với AB và AC, nên OH // AC.
- Ta có: OEB = 90° (do EB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B), nên OH // EB.

Vậy, ta đã chứng minh được OH // AC và EB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

2)
a) Ta có:
- Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) với AB.
- Ta có: CD là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O), nên CD vuông góc với OC.
- Gọi x là độ dài của BD và y là độ dài của GC.
- Theo định lý hình học, ta có: CD.BC = CF^2 = (BD + x)(GC + y) = BD.GC + x.GC + y.BD + xy.
- Vì BC là đường kính của đường tròn (O), nên BD + GC = BC.
- Từ đó, ta có: CD.BC = BD.GC + x.GC + y.BD + xy = BD.GC + (x + y)(BD + GC) = BD.GC + (x + y)BC.
- Vì CD.BC = 2BD.GC (đề bài đã cho), nên ta có: BD.GC + (x + y)BC = 2BD.GC.
- Từ đó, suy ra: (x + y)BC = BD.GC.
- Vì BC ≠ 0, nên ta có: x + y = 2BD/GC.
- Vậy, ta đã chứng minh được CD.BC = 2BD.GC.

b) Ta có:
- Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) với OH.
- Ta có: BOD = 180° - OBD - ODB = 180° - OCB - OCD = 180° - GCD - CGD = CGD.
- Vậy, ta đã chứng minh được BOD = CGD.