Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA=MC

Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA = MC, ta sẽ chứng minh hai phần riêng biệt.

Phần 1: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp, thì MA = MC.
Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp và đường tròn nội tiếp cắt các cạnh AB, BC, CD, DA tại các điểm E, F, G, H lần lượt. Ta có:
- Góc ABD = Góc ACD (cùng nằm trên cung AD của đường tròn nội tiếp)
- Góc ADB = Góc ACB (cùng nằm trên cung AB của đường tròn nội tiếp)
- Góc ABD = Góc MBC (theo giả thiết)
- Góc ADB = Góc MDC (theo giả thiết)
Do đó, ta có:
Góc ACB = Góc MBC + Góc MDC
Góc ACB = Góc ADB + Góc ABD
Góc ACB = Góc ADB + Góc ACB
Góc ACB = Góc ACB
Do đó, ta có góc ACB = góc ACB, tức A, C, B thẳng hàng.
Khi đó, ta có:
Góc MBC = Góc ABD = Góc ACD = Góc MDC
Vậy, ta có MA = MC.

Phần 2: Nếu MA = MC, thì tứ giác ABCD nội tiếp.
Giả sử MA = MC. Ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và CD.
Ta có:
Góc MBC = Góc ABD (theo giả thiết)
Góc MDC = Góc ADB (theo giả thiết)
Vì MA = MC, nên góc MAB = góc MCA.
Do đó, ta có:
Góc MAB + Góc MBC + Góc MCA + Góc MDC = 180°
Góc ABD + Góc MBC + Góc MCA + Góc ADB = 180°
Góc ABD + Góc ADB + Góc MCA + Góc MBC = 180°
Góc ABC + Góc ADC = 180°
Vậy, tứ giác ABCD nội tiếp.

Từ hai phần trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA = MC.