I là trung điểm của MN

Để chứng minh A) I là trung điểm của MN, ta cần chứng minh rằng MI = IN.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ E.

Ta có:
- BD = CE (theo đề bài)
- DH ⊥ BC, EH ⊥ BC (vì DH và EH là đường thẳng vuông góc với BC)
- ∠BHD = ∠CEH (cùng là góc vuông)
- ∠BDH = ∠CEH (cùng là góc vuông)
- ∠BHD = ∠BDH (cùng là góc nhọn)
=> △BDH ≡ △CEH (cùng có 2 góc bằng nhau và cạnh chung bằng nhau)
=> BH = CH (cạnh đối của 2 góc bằng nhau)

Gọi K là giao điểm của đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I và đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ H.

Ta có:
- MI ⊥ MN, KI ⊥ MN (vì MI và KI là đường thẳng vuông góc với MN)
- HI ⊥ BC, KI ⊥ BC (vì HI và KI là đường thẳng vuông góc với BC)
- ∠HIM = ∠KIN (cùng là góc vuông)
- ∠HMI = ∠KNI (cùng là góc vuông)
- ∠HIM = ∠HMI (cùng là góc nhọn)
=> △HIM ≡ △KIN (cùng có 2 góc bằng nhau và cạnh chung bằng nhau)
=> HI = KI (cạnh đối của 2 góc bằng nhau)

Vậy, ta có MI = IN và HI = KI.
Do đó, I là trung điểm của MN (vì MI = IN).

Để chứng minh B) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC, ta cần chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định trên đường thẳng BC.

Gọi P là giao điểm của đường thẳng vuông góc với MN tại I và đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D.

Ta có:
- MI ⊥ MN, PI ⊥ MN (vì MI và PI là đường thẳng vuông góc với MN)
- DI ⊥ BC, PI ⊥ BC (vì DI và PI là đường thẳng vuông góc với BC)
- ∠MID = ∠PID (cùng là góc vuông)
- ∠DMI = ∠PDI (cùng là góc vuông)
- ∠MID = ∠DMI (cùng là góc nhọn)
=> △MID ≡ △PID (cùng có 2 góc bằng nhau và cạnh chung bằng nhau)
=> MI = PI (cạnh đối của 2 góc bằng nhau)

Vậy, đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua điểm P trên đường thẳng BC (điểm P không thay đổi khi D thay đổi trên BC).