a) Ta có:
- OM là đường phân giác góc AOC (do AM là tiếp tuyến của (O))
- AC là đường phân giác góc AOC (do C là tiếp điểm của tiếp tuyến MC)
Vậy OM là đường phân giác góc AOC, suy ra OM vuông góc AC tại H.

b) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của MB và AC.
- Ta có tứ giác AOMB nội tiếp trong đường tròn (O), nên góc MOB = góc MAB = góc MCB (cùng chắn cung MC).
- Tương tự, ta có góc MBO = góc MCO.
- Vì tứ giác AOMB nội tiếp, nên góc MOB + góc MBO = 180°.
- Do đó, góc MCB + góc MCO = 180°.
- Từ đó, ta có tứ giác MCOE nội tiếp trong đường tròn (O).
- Vậy, góc MEO = góc MCO = góc MBO.
- Từ đó, ta có tứ giác MOBE nội tiếp trong đường tròn (O).
- Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác MOBE, ta có: MD.MB + ME.MO = MO.MB.
- Vì ME = MO (vì E nằm trên đường tròn (O)), nên ta có: MD.MB = MO.MB - MO.MB = 0.
- Vậy, MD.MB = 0.
- Do đó, ta có MD.MB = MH.MO.

c) Gọi E' là giao điểm của tia OK và đường thẳng BC.
- Ta cần chứng minh A, C, E' thẳng hàng.
- Vì K là trung điểm của BD, nên ta có BK = KD.
- Từ đó, ta có góc BKO = góc KBD = góc KDB.
- Vì E' nằm trên đường thẳng BC, nên góc BKO = góc E'BC.
- Từ đó, ta có góc E'BC = góc KDB.
- Vì tứ giác AOMB nội tiếp trong đường tròn (O), nên góc MAB = góc MOB.
- Tương tự, ta có góc MCB = góc MOB.
- Vậy, góc MAB = góc MCB.
- Từ đó, ta có góc MAB = góc MCB = góc KDB.
- Vậy, góc E'BC = góc KDB.
- Vì góc E'BC = góc KDB và góc E'BC = góc KDB, nên ta có góc E'BC = góc E'CB.
- Từ đó, ta có E'BC = E'CB.
- Vậy, E' là trung điểm của BC.
- Do đó, E' trùng với E.
- Vậy, A, C, E thẳng hàng.