Cho tam giác ABC

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng đều.

Vì M là trung điểm của BC, ta có vectơ BM = vectơ MC.

Vì N là trung điểm của CA, ta có vectơ CN = vectơ NA.

Vì P là trung điểm của AB, ta có vectơ AP = vectơ PB.

Để xác định xem vectơ AP có bằng vectơ PB hay không, ta cần so sánh các thành phần của hai vectơ này.

Gọi vectơ AC = u và vectơ AB = v.

Ta có vectơ AN = 1/2 * u và vectơ AM = 1/2 * v.

Vì tam giác ABC là tam giác đồng đều, ta có u = v.

Vậy vectơ AN = 1/2 * u = 1/2 * v = 1/2 * AB = 1/2 * AP.

Vậy vectơ AP = 2 * vectơ AN.

Từ đó suy ra vectơ AP không bằng vectơ PB.

Vậy vectơ AP không bằng vectơ PB.

Để xác định số lần mà vectơ AN bằng vectơ AC, ta cần so sánh các thành phần của hai vectơ này.

Gọi vectơ AC = u và vectơ AB = v.

Ta có vectơ AN = 1/2 * u và vectơ AM = 1/2 * v.

Vì tam giác ABC là tam giác đồng đều, ta có u = v.

Vậy vectơ AN = 1/2 * u = 1/2 * v = 1/2 * AB = 1/2 * AC.

Vậy vectơ AN bằng 1/2 lần vectơ AC.