Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp

1) Ta có $\angle MAB = \angle MBA$ (do $MA$ và $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$) và $\angle MOB = \angle MAB + \angle MBA$ (do $MAOB$ là tứ giác nội tiếp). Do đó, ta có $\angle MOB = 2\angle MAB$ và $\angle MOB = 2\angle MBA$. Từ đó suy ra $\angle MAB = \angle MBA$, tức là tứ giác $MAOB$ nội tiếp.

2) Ta có $\angle MOA = \angle MBA$ (do $MA$ và $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$) và $\angle MOB = \angle MAB$ (do tứ giác $MAOB$ nội tiếp). Do đó, $\angle MOA = \angle MOB$. Từ đó, ta có $\triangle MOA \sim \triangle MOB$ (có cùng một góc và góc còn lại bằng nhau). Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
$$\frac{MA}{MO} = \frac{MO}{MB}$$
$$\Rightarrow MA^2 = MO^2 = MH \cdot MI$$
Vậy $MA^2 = MH \cdot MI$.

3) Ta có $MI$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $\angle MIB = 90^\circ$. Khi đó, ta có $\angle MIB = \angle MOA = \angle MBA$. Tương tự, ta cũng có $\angle MBI = \angle MOB = \angle MAB$. Do đó, $\triangle MAB \sim \triangle MBI$ (có hai góc bằng nhau). Từ đó, ta có:
$$\frac{MA}{MB} = \frac{MB}{MI}$$
$$\Rightarrow MI = \sqrt{MA \cdot MB}$$
Vậy ta đã chứng minh được rằng $I$ cách đều ba cạnh của tam giác $AMB$.