Cho (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến PC với đường tròn O và cát tuyến PAB (PA < PB)

a. Ta có:
- Trong tam giác OPC, ta có PC là tiếp tuyến nên góc OPC = góc OCP.
- Trong tam giác OPA, ta có góc OPA = góc OPC (do PA cắt tuyến).
Vậy tam giác OPC và tam giác OPA đồng dạng, từ đó suy ra PC^2 = PA.PC.

- Ta có OH^2 + OP^2 = HP^2 (theo định lý Pythagore trong tam giác OHP).
- Ta có HP = PA + PB (do M là trung điểm AB).
Thay HP = PA + PB vào công thức trên ta được OH^2 + OP^2 = (PA + PB)^2.
Mở rộng ta được OH^2 + OP^2 = PA^2 + 2.PA.PB + PB^2.
Nhưng ta cũng có OP^2 = PA.PB (do PC^2 = PA.PC).
Từ đó suy ra OH^2 + OP^2 = OP^2 + 2.PA.PB, hay OH.OP + PA.PB = OP^2.

b. Gọi G là giao điểm của AB và OH.
- Ta có góc OHA = góc OPA = góc OAB (do OH song song với AB).
Từ đó suy ra OHAB là tứ giác nội tiếp.

- Ta có IA = AB - IB = AB - PA (do M là trung điểm AB).
Từ đó suy ra 1/IA - 1/PA = 1/(AB - PA) - 1/PA = (AB - PA - PA)/(PA.(AB - PA)) = 2/AB.