Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn

a/ Ta có góc ADE = 90° (do AD vuông góc với AO), góc ABE = 90° (góc nửa tròn), suy ra tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp.

b/ Ta có tứ giác BDEC nội tiếp nên BC.BF = BD.BA (theo định lí tứ giác nội tiếp).

c/ Gọi G là giao điểm của AC và EF. Ta có tứ giác ADE ~ tứ giác GIE (cùng có 1 góc vuông và 1 góc nhọn), suy ra IE/DE = IG/AE = IC/AC. Do đó, IEC ~ ΔОВС (theo định lí đồng dạng của tam giác).

d/ Ta có góc ADE = 90°, suy ra góc AIE = 90°. Do đó, IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) (theo tính chất của tiếp tuyến và nửa đường tròn).

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c, d.