a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần có \( \Delta > 0 \) (với \( \Delta \) là biểu thức dưới dấu căn bậc hai trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai).

\( \Delta = (-2(2m-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3m^2 - 4) \)

\( = 4(4m^2 - 4m + 1) - 12m^2 + 16 \)

\( = 16m^2 - 16m + 4 - 12m^2 + 16 \)

\( = 4m^2 - 16m + 20 \)

Để \( \Delta > 0 \), ta có:

\( 4m^2 - 16m + 20 > 0 \)

\( m^2 - 4m + 5 > 0 \)

\( (m-2)^2 + 1 > 0 \)

Với mọi \( m \) thỏa mãn điều kiện trên, phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Theo Viết công thức tổng và tích nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\( x_1 + x_2 = 2(2m-1) = 4m - 2 \)

\( x_1 \cdot x_2 = 3m^2 - 4 \)

Đề bài yêu cầu tìm \( m \) sao cho \( x_1 + 2x_2 = -2 \), ta có:

\( x_1 + 2x_2 = x_1 + x_2 + x_2 = 4m - 2 + 2(3m^2 - 4) = 4m - 2 + 6m^2 - 8 \)

\( = 6m^2 + 4m - 10 \)

Để \( x_1 + 2x_2 = -2 \), ta cần giải phương trình:

\( 6m^2 + 4m - 10 = -2 \)

\( 6m^2 + 4m - 8 = 0 \)

\( 3m^2 + 2m - 4 = 0 \)

Phương trình trên có nghiệm là \( m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 72}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{6} \)