Đáp án:

a) Để chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp, ta cần chứng minh tổng góc của tứ giác này bằng 360 độ.
Góc BME + góc BEF + góc BFE + góc BMF = 360 độ
Vì CD ⊥ AB, nên góc BME = góc BFE = 90 độ.
Góc BEF = góc BFE = 90 độ (vì tứ giác ABCD nội tiếp).
Góc BMF = 180 độ - góc BME - góc BEF = 180 độ - 90 độ - 90 độ = 0 độ.
Vậy tổng góc của tứ giác BMEF = 90 độ + 90 độ + 90 độ + 0 độ = 360 độ, nên tứ giác BMEF nội tiếp.

b) Để chứng minh AD^2 = AE * AM, ta sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp:
Trong tứ giác ABCD nội tiếp, ta có: AB * CD = AD * BC
Vì CD ⊥ AB, nên CD = 2R (R là bán kính đường tròn).
Vì AM và CD cắt nhau tại E, nên AE * EM = AD * BC (định lý Thales).
Kết hợp hai kết quả trên, ta có: AD^2 = AE * AM.

c) Để chứng minh tứ giác BMNI nội tiếp và ̂ANC = ̂EQC, ta sử dụng các tính chất sau:
- Vì CD ⊥ AB, nên góc ANC = góc EQC = 90 độ.
- Vì tứ giác ABCD nội tiếp, nên góc ABC = góc ADC.
- Vì AM và BC cắt nhau tại N, nên góc AMN = góc ABC.
- Vì tứ giác BMNI nội tiếp, nên tổng góc của tứ giác này bằng 360 độ.
Kết hợp các tính chất trên, ta có: ̂ANC = ̂EQC.

d) Để tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC sao cho chu vi tam giác OMH lớn nhất, ta cần tìm điểm M sao cho góc OMH là lớn nhất.
Vì MH ⊥ AB, nên góc OMH = góc MOH.
Góc MOH đạt giá trị lớn nhất khi M nằm giữa B và C, tức là M trùng với trung điểm của cung nhỏ BC.