Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta cần sử dụng các định lí về tam giác đồng dạng và đồng quy.

a) Ta có E là trung điểm của AB nên AE = EB. Tương tự, F là trung điểm của AC nên AF = FC.
Do đó, ta có tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC theo định lí cạnh và góc đồng dạng.
Vậy, ta có AE/AB = AF/AC = EF/BC.
Từ đó, ta suy ra AE = AF và BC = 2EF.
Vậy, ta có AD = 2EF = BC.

b) Ta có HE = EC nên tam giác HEC là tam giác đều.
Vì F là trung điểm của AC nên ta có HF // AB và HF = 1/2AB.
Vậy, ta có AH = HF = 1/2AB.
Do đó, ta có tam giác AHD đồng dạng với tam giác FHB theo định lí cạnh và góc đồng dạng.
Vậy, ta có A là trung điểm của HD.

c) Ta có DF = FB và HE = EC nên tam giác DFB đồng dạng với tam giác EHC theo định lí cạnh và góc đồng dạng.
Vậy, ta có góc FDB = góc EHC và góc FBD = góc ECH.
Như vậy, ta có CD // AB.

d) Ta có CD // AB và DC cắt HB tại P nên ta có góc HCD = góc HBA.
Tương tự, ta có góc BHD = góc BAC.
Vậy, ta có tam giác HCD đồng dạng với tam giác HBA theo định lí góc đồng dạng.
Do đó, ta có AP, BD, CH đồng quy.