Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R)

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Chứng minh tứ giác AEHF và tứ giác ACND nội tiếp:
- Gọi I là giao điểm của AE và CF. Ta có: $\angle AIF = 180^\circ - \angle AFC = 180^\circ - \angle ABC = \angle AEC$, nên tứ giác AEIC nội tiếp.
- Tương tự, ta có tứ giác AFIB nội tiếp.
- Do đó, tứ giác AEHF nội tiếp.
- Tứ giác ACND cũng nội tiếp do $\angle ACD = \angle ANH = 90^\circ$.

2. Chứng minh ND // BK và AB.AC = 2R.AD:
- Ta có $\angle ACD = \angle ANH = 90^\circ$, nên ND // BK.
- Từ tứ giác ACND, ta có $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{NC}{DC}$, suy ra $AD \cdot DC = AC \cdot NC = R^2$.
- Từ định lý Ptolemy trong tứ giác ACND, ta có: $AC \cdot ND + AD \cdot NC = AN \cdot CD$, thay vào ta được $AC \cdot ND + R^2 = AN \cdot CD$.
- Vì ND // BK nên ta có $\dfrac{AN}{AK} = \dfrac{AC}{AB}$, suy ra $AN = \dfrac{AC \cdot AK}{AB}$.
- Thay vào phương trình trên ta được: $AC \cdot ND + R^2 = \dfrac{AC \cdot AK \cdot CD}{AB}$, từ đó suy ra $AB \cdot AC = 2R \cdot AD$.

3. Tìm vị trí điểm A để diện tích tam giác AEF lớn nhất:
- Gọi S là diện tích tam giác AEF. Ta có $S = \dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot EF \cdot \sin{\angle AEF}$.
- Với $AE = 2R$ (đường kính đường tròn), ta cần tìm điểm A sao cho $\sin{\angle AEF}$ đạt giá trị lớn nhất.
- Khi đó, $\angle AEF = 90^\circ$, tức là tam giác AEF là tam giác vuông tại E.
- Vậy, để diện tích tam giác AEF lớn nhất, ta cần chọn điểm A sao cho tam giác AEF là tam giác vuông tại E.