Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

a) Ta có phương trình của đường thẳng (d) là y = mx + 2.

Để chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị của hàm số y = x^2 tại hai điểm phân biệt với mọi m, ta cần chứng minh rằng tồn tại hai giá trị x1 và x2 sao cho y = x1^2 và y = mx1 + 2 có hai nghiệm phân biệt.

Giải hệ phương trình:
x1^2 = mx1 + 2
x1^2 - mx1 - 2 = 0

Để hệ phương trình trên có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện Δ = m^2 + 8 > 0.

Vậy, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị của hàm số y = x^2 tại hai điểm phân biệt với mọi m.

b) Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng đường thẳng (d) có thể cắt đồ thị của hàm số y = x^2 tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Với một đường thẳng y = mx + 2, ta có thể chọn một điểm nằm trên đường thẳng (d) có tung độ bằng 2, chẳng hạn điểm A(0, 2).

Khi đó, ta có hệ phương trình:
x^2 = mx + 2
x^2 - mx - 2 = 0

Để hệ phương trình trên có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện Δ = m^2 + 8 > 0.

Vậy, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị của hàm số y = x^2 tại hai điểm phân biệt với mọi m.