Để chứng minh rằng đường thẳng \(a\) và đường thẳng \(b\) song song với nhau, ta sẽ sử dụng giả thiết rằng hai đường thẳng này chia mặt phẳng thành ba miền.

Giả sử rằng đường thẳng \(a\) và đường thẳng \(b\) không song song với nhau. Khi đó, hai đường thẳng này sẽ cắt nhau tại một điểm \(C\). Khi đó, mặt phẳng sẽ bị chia thành bốn miền bởi hai đường thẳng này, cụ thể là:

1. Miền thứ nhất nằm giữa hai đường thẳng và không chứa điểm \(C\).
2. Miền thứ hai nằm giữa hai đường thẳng và không chứa điểm \(C\).
3. Miền thứ ba nằm ngoài hai đường thẳng và chứa điểm \(C\).
4. Miền thứ tư nằm ngoài hai đường thẳng và chứa điểm \(C\).

Tuy nhiên, theo giả thiết, hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chia mặt phẳng thành ba miền. Điều này mâu thuẫn với kết quả trên, vì nếu hai đường thẳng cắt nhau thì sẽ chia mặt phẳng thành bốn miền.

Do đó, giả thiết rằng hai đường thẳng \(a\) và \(b\) không song song với nhau là sai. Vậy, hai đường thẳng \(a\) và \(b\) phải song song với nhau.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(a \parallel b\).