Để phân tích đa thức \( x^3 - 4x^2 - 25xy^2 + 4x \) thành nhân tử, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Nhóm các hạng tử lại với nhau**: Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử để có thể dễ dàng nhận ra các nhân tử chung.

\[ x^3 - 4x^2 - 25xy^2 + 4x \]

Nhóm các hạng tử lại:

\[ (x^3 - 4x^2) + (-25xy^2 + 4x) \]

2. **Rút nhân tử chung ra khỏi mỗi nhóm**: Chúng ta sẽ rút nhân tử chung ra khỏi mỗi nhóm.

\[ x^2(x - 4) - 25xy^2 + 4x \]

Ở nhóm thứ hai, chúng ta có thể rút \( x \) ra:

\[ x^2(x - 4) + x(-25y^2 + 4) \]

3. **Nhận xét và phân tích tiếp**: Chúng ta nhận thấy rằng các hạng tử chưa hoàn toàn phân tích được. Chúng ta cần tìm cách khác để phân tích tiếp.

Chúng ta có thể thử nhóm lại theo cách khác:

\[ x(x^2 - 4x) - 25xy^2 + 4x \]

Rút \( x \) ra khỏi nhóm đầu tiên:

\[ x(x(x - 4)) - 25xy^2 + 4x \]

Nhóm lại:

\[ x(x(x - 4) + 4 - 25y^2) \]

4. **Phân tích tiếp**: Chúng ta nhận thấy rằng \( x(x - 4) + 4 - 25y^2 \) có thể được phân tích tiếp.

\[ x(x^2 - 4x - 25y^2 + 4) \]

Để phân tích \( x^2 - 4x - 25y^2 + 4 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức bậc hai.

5. **Phân tích đa thức bậc hai**: Chúng ta sẽ phân tích \( x^2 - 4x - 25y^2 + 4 \).

\[ x^2 - 4x - 25y^2 + 4 = (x - 2)^2 - 25y^2 \]

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

\[ (x - 2)^2 - (5y)^2 = (x - 2 - 5y)(x - 2 + 5y) \]

6. **Kết hợp lại**: Chúng ta kết hợp lại các nhân tử đã phân tích được.

\[ x(x - 2 - 5y)(x - 2 + 5y) \]

Vậy, đa thức \( x^3 - 4x^2 - 25xy^2 + 4x \) được phân tích thành nhân tử là:

\[ x(x - 2 - 5y)(x - 2 + 5y) \]