Để giải hệ phương trình \( x^2 - 2y = 1 \) và \( 4y^2 - x = 1 \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Giải phương trình thứ hai theo \( x \):**
\[ 4y^2 - x = 1 \]
\[ x = 4y^2 - 1 \]

2. **Thay \( x \) vào phương trình thứ nhất:**
\[ (4y^2 - 1)^2 - 2y = 1 \]
\[ 16y^4 - 8y^2 + 1 - 2y = 1 \]
\[ 16y^4 - 8y^2 - 2y + 1 - 1 = 0 \]
\[ 16y^4 - 8y^2 - 2y = 0 \]

3. **Giải phương trình bậc 4 theo \( y \):**
\[ 16y^4 - 8y^2 - 2y = 0 \]
\[ 2y(8y^3 - 4y - 1) = 0 \]

Điều này cho ta hai trường hợp:
- \( 2y = 0 \) => \( y = 0 \)
- \( 8y^3 - 4y - 1 = 0 \)

4. **Xét trường hợp \( y = 0 \):**
\[ x = 4y^2 - 1 = 4(0)^2 - 1 = -1 \]
Vậy, một nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (-1, 0) \).

5. **Xét phương trình \( 8y^3 - 4y - 1 = 0 \):**
Đây là một phương trình bậc ba, và để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ hoặc sử dụng công cụ giải phương trình bậc ba.

Sau khi thử nghiệm, ta thấy rằng \( y = \frac{1}{2} \) là một nghiệm của phương trình:
\[ 8\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 4\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 0 \]
\[ 8 \cdot \frac{1}{8} - 2 - 1 = 0 \]
\[ 1 - 2 - 1 = 0 \]

Vậy, \( y = \frac{1}{2} \).

6. **Tìm \( x \) tương ứng với \( y = \frac{1}{2} \):**
\[ x = 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 1 - 1 = 0 \]
Vậy, nghiệm thứ hai của hệ phương trình là \( (x, y) = (0, \frac{1}{2}) \).

Tóm lại, hệ phương trình có hai nghiệm:
\[ (x, y) = (-1, 0) \]
\[ (x, y) = (0, \frac{1}{2}) \]