Để tìm các hệ số \(a\) và \(b\) của hàm số \(y = ax + b\) sao cho đồ thị của hàm số này đi qua điểm \(A(1, 6)\) và song song với đường thẳng \(y = 6 - x\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định hệ số \(a\):**

Đường thẳng \(y = 6 - x\) có dạng \(y = -x + 6\), trong đó hệ số góc \(a = -1\). Vì hai đường thẳng song song thì hệ số góc của chúng phải bằng nhau, do đó hệ số \(a\) của hàm số \(y = ax + b\) cũng phải bằng \(-1\).

Vậy \(a = -1\).

2. **Xác định hệ số \(b\):**

Đồ thị của hàm số \(y = -x + b\) đi qua điểm \(A(1, 6)\). Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình của hàm số để tìm \(b\):

\[
6 = -1 \cdot 1 + b
\]

\[
6 = -1 + b
\]

\[
b = 6 + 1
\]

\[
b = 7
\]

Vậy, các hệ số \(a\) và \(b\) của hàm số \(y = ax + b\) là \(a = -1\) và \(b = 7\).

Do đó, hàm số cần tìm là:

\[
y = -x + 7
\]