Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các định lý và công thức liên quan đến phương trình bậc hai và các nghiệm của nó.

Cho phương trình bậc hai:
\[ x^2 - 3mx - m = 0 \]

Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Theo định lý Viète, ta có:
\[ x_1 + x_2 = 3m \]
\[ x_1 x_2 = -m \]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ A = \frac{m^2}{x_2^2 + 3mx_1 + 3m} + \frac{x_1 + 3mx_2 + 3m}{m^2} \]

Đầu tiên, ta sẽ tính các thành phần trong biểu thức \( A \).

1. Tính \( x_2^2 + 3mx_1 + 3m \):
\[ x_2^2 = (3m - x_1)^2 = 9m^2 - 6mx_1 + x_1^2 \]
\[ x_2^2 + 3mx_1 + 3m = 9m^2 - 6mx_1 + x_1^2 + 3mx_1 + 3m = 9m^2 - 3mx_1 + x_1^2 + 3m \]

2. Tính \( x_1 + 3mx_2 + 3m \):
\[ x_1 + 3mx_2 + 3m = x_1 + 3m(3m - x_1) + 3m = x_1 + 9m^2 - 3mx_1 + 3m = 9m^2 - 2mx_1 + 3m \]

Thay các giá trị này vào biểu thức \( A \):
\[ A = \frac{m^2}{9m^2 - 3mx_1 + x_1^2 + 3m} + \frac{9m^2 - 2mx_1 + 3m}{m^2} \]

Để đơn giản hóa biểu thức này, ta cần xem xét các điều kiện của \( m \) và \( x_1 \), \( x_2 \).

Do \( x_1 \) và \( x_2 \) là nghiệm phân biệt của phương trình, nên:
\[ \Delta = (3m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 9m^2 + 4m > 0 \]
\[ 9m^2 + 4m > 0 \]
\[ m(9m + 4) > 0 \]

Điều này có nghĩa là \( m > 0 \) hoặc \( m < -\frac{4}{9} \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta cần thử các giá trị \( m \) trong các khoảng này và tính toán cụ thể. Tuy nhiên, việc này có thể phức tạp và cần sử dụng các phương pháp tối ưu hóa hoặc thử nghiệm cụ thể để tìm giá trị nhỏ nhất.

Do đó, ta có thể kết luận rằng giá trị nhỏ nhất của \( A \) phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \( m \) và cần thử nghiệm hoặc sử dụng các công cụ tính toán để tìm ra giá trị nhỏ nhất chính xác.